BIRONDA Weblog: 量子力学ノート(2)-part2

2012/04/20

波動方程式は

$\frac{\partial^2u}{\partial{x^2}}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=0$

であった。この解の位置座標に関わる部分をψとして、時間に関わる部分は三角関数でかけたからcos(ωt)と書くことにする。

すると、この式は

$\frac{\mathrm{d^2}\psi}{\mathrm{d}x^2}+\frac{\omega^2}{v^2}\psi(x)=0.$

とかける。ωを書き直せば

$\frac{\omega^2}{v^2}=\frac{4\pi^2\nu^2}{\nu^2\lambda^2}=\bigl(\frac{2\pi}{\lambda}\bigr)^2=\bigl(\frac{2\pi h}{p}\bigr)^2=\frac{\hbar^2}{p^2}$

である.（de Broglieの式）
これから先ほどの式は

$\hbar^2\frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}x^2}+p^2\psi(x)=0.$

となる
一方、

$E=\frac{1}{2}mv^2+U(x)=\frac{1}{2m}p^2+U(x)$

であるので

以上から

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}x^2}+U(x)\psi(x)=E\psi(x)$

を得る。これを(時間に依存しない定常状態の)Schrodinger方程式と呼ぶ

先ほどのSchrodinger方程式を以下のように書き換えてみる

$\{-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}+U(x)\}\psi(x)=E\psi(x)$

この括弧の中は微分の記号が不完全な状態で残っており、このような他に作用する数式を演算子と呼び、この場合の演算子をハミルトニアンとよび、以下のように書く

$\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}+U(x)$

すると、Schrodinger方程式は次のように書き換えられる

$\hat{H}\psi(x)=E\psi(x)$

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