グラフで見る数学【直線編】

デカルト座標（直交座標：x軸とy軸があるアレ）上でグラフを書くというのは高校数学の問題を解くうえで重要なことがある。パッと見ただけではわかりにくい数式を可視化してある程度感覚で解けるという利点もある。そんな時に役立つかもしれない数式の読み方を見てみる。

まずは飾り気のない

y=x

これはyとxが同じ点をプロットしていったものだが、xを-xにすればyも-y、つまり原点に関して点対称だとも言える。これは一般に

f(-x)=-f(x)

のとき奇関数といって（名前はどうでもいい）、右半分と左半分が上下左右反転となっている。
次に、平行移動をしてみる。
x軸方向にa, y軸方向にb移動した場合を考える。ここで移動後のx,yを移動前のx, yと混同しないため（これらは別物）前者をx', y'と書くことにする。
すると、元の式

y=x

と、平行移動から得られる2式

x'=x+a

y'=y+b

がある。これら3式からy', x'の関係を求めてみると、

y'-b=x'-a

ここで注意したいのはこの(x', y')は移動後の座標系、(x,y)は移動前の座標系であるということ。いま考えている移動後のグラフは移動後の座標系での関係式だということに注意すれば、移動後の方程式は見慣れた

y-b=x-a

が得られる。

次に左右、上下の倍率を変えてみたい。
今回も同様に、変形前の関係式
y=x+b
とx軸の倍率p, y軸の倍率qから
x'=px (pq≠0)
y'=qy
(＊ここでの倍率とはx座標1をx座標pに移す変形を倍率pの変形として呼ぶことにする)
つまり、
x=1/p x'
y=1/q y'
∴定数a,bを用いてy=ax+b

さて、グラフを見る上で重要の1つには軸との交点がある。x切片はx軸との交点のx座標、y切片も同様に定義される。
直線の一般式 y=ax+b (ここではa=0でもいい)から
x切片は一般にx=-b/a (a≠0 ∵a=0だと交点はない)
y切片は一般にb

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2011.01.16 Version 1.0