グラフで見る数学【曲線編】

まずは2次関数

y=x^2

これは左右対称となる。理由はxを-xに置き換えてもyは同じだから。つまり、絶対値が等しいx座標に対応するy座標は同じになるから。
一般に

f(-x)=f(x)

となる関数を偶関数と呼ぶ。
一般式y=ax^2+bx+c
a>0のとき下凸、a<0のとき上凸
D=b^2-4ac>0のときx軸と交点が2つ
D=0のとき1つ（重解）
a<0, D>0

a>0, D<0

a>0, D>0

a>0, D=0

次は3次関数

一般式
y=ax^3+bx^2+cx+d
上昇傾向から下降傾向になる点で極大値、その逆が極小値をとる。
y'=3ax^2+2bx+c
極大・極小が存在⇔傾きの正負が変わる点がある⇔D/4=b^2-3ac>0
（上図）
極大・極小が存在しない（傾き＝０となる点は存在する）⇔D=0

それ以外

さて今度は係数a,b,cの影響を見てみる。dはd=0としておく
大=l=10,中=m=5,小=s=1
(a,b,c)=(l,s,s)

(s,l,s)

青が３次関数、その他は各項の成分。x^2の係数が大きいために青の曲線も左が膨らんでいる
(s,s,l)

今度は奇関数の成分の方が強い
(m,l,s)

今度は１次の項はもはや効力を発揮せず、２次・３次の項の勝負となっているが、係数の関係で引き分けといったところか。

--更新履歴
2011.01.16 Version 1.0