センター試験数学IIBの積分を楽にする方法

1/6公式や1/3,1/12公式などと言われる公式がある分野ではあるが、どうしてもそのまま丸暗記は性に合わないので、理屈をつけてこれらを使える方法を編み出した（・・・？）ので備忘録的に紹介。

[記事更新しました]
2011年版（より丁寧に説明したつもりです）

①1/6公式
とは言ったものの、1/6公式は教科書で導出するものなので、覚えるしかない。

●使える状況
→2つの直線/放物線の交点を求める2次方程式が作れる。さらに、その方程式のD>0
すなわち、「直線と2次関数」「2次関数と2次関数（ただしx^2の係数は異なる）」
もっというと、（上の関数）-（下の関数）＝（D>0の2次関数）

●なんで？
この公式の元を正せば、2次関数
y=x^2-(α+β)x+αβ・・・①
とx軸とで囲まれた面積。
それが
|1/6(β-α)^3|
となる。

一方、
1次関数と2次関数
y=f(x)=ax+b, y=g(x)=px^2+qx+r
で囲まれる面積は、
∫[任意のx軸に垂直な直線が切り取られる長さ]dx
であって、
この[...長さ]=| f(x)-g(x) |。
ということは、この[...長さ]が①の形なら公式が使えるわけ。

x^2の係数をかけるのは、
[...長さ]=a(x^2+bx+c)の形にして、
S=a∫x^2+bx+c dx
にするため。①の係数は1だから、そのa倍と考えればいいわけ。

②1/3公式

公式

a=2乗の係数、αもしくはβ＝接点のx座標
●使える状況
積分する関数が（＝上の方程式-下の方程式）2次関数、かつD=0。
すなわち、「1次関数と2次関数」or「2次関数と2次関数（ただしx^2の係数違う）」
が接しているとき。
また、積分区間の一端が接点

●なんで？
＜数学Ⅲ的説明＞
S=a∫{α→β}(x-α)^2dx
=a/3(β-α)^3

また、この被積分関数a(x-α)^2は、1次関数と2次関数の場合、
[2乗の係数](x-接点のx座標)^2となるのは言うまでもないので、いちいち
上の関数-下の関数なんてしない。・・・（＊）
あと、積分区間の一端は接点なのだからそれを不定積分に代入しても0。

＜非数Ⅲ的説明＞

S=a∫{α→β}(x-α)^2dx

と変形できる（D=0だから、絶対2乗に変形できる）（＊）も参照

んで、

これはax^2を平行移動したヤツ

平行移動したって面積は同じだから、積分区間と共に移動しちゃう

S=a∫{0→β-α}x^2 dx

簡単に書くと

S=∫x^2dx

と同じ。

このくらいなら暗算でも間違わないだろう。

③1/12公式

●使える状況

2次関数と接線2つで囲まれた面積

●公式

S=a/12|β-α|^3

●なんで？

導出はしないが、

2つの接点を通る直線と2次関数とで囲まれた面積の1/2だから。

S=1/2*1/6*...となる。