BIRONDA Weblog: 電磁気学ノート(1)

ノートシリーズも今度は電磁気まで手を出してみる。と言ってもあまり理解していない筆者が自分のためにこまこまとメモをしているに過ぎない、まさしく「ノート」なのであしからず。
（注：かなり迷走しているので電磁気の参考になるとは思えない）

◎ベクトル場
スカラー場といえば、ある座標に対して一意的にスカラー、数値が割り当てられていることをいう。スカラーの代わりにベクトルが割り当てられたものがあっても良いはずだという発想で、ベクトル場も考えてみても良さそう。

ベクトルに関する演算についてとりあえず書いていく。

●grad / ∇(ナブラ)：勾配

●div/∇･f ：発散

※fはそれぞれ　x,y,z成分。添字を忘れた
●rot/curl/∇×f：回転

※y,z成分については、外積と同様の定義なので省略する

一つ目の勾配については、意味が直感的にわかりやすい。各成分が偏微分となっているので、勾配のある方向にベクトルが向く。実際に数学の関数であてはめてみる(←今思いついたので意味のある結果が出るかは不明)。
z=f(x,y)=x*y
これはz成分をのぞいたものとして考えてみればいい・・・のだろうか。
まぁ気にせずやってみる。
f=xy
grad f = (y, x)
ということは、x=yとなる部分にむかって勾配が付く感じだろうか。（点(x,y)では(y,x)方向への勾配、x=yならx=y上での勾配。）またx=y=0ではgrad=(0,0)（これは傾斜が不定だから、というより登りと下りでキャンセルしているといったほうがいいか。）

実際に、3Dグラフを書かせると上の図のようになる。まぁ手書きでも等高線などを使って出来なくもないグラフではある。

次の例として
f(x,y,z)=z^2+y^2/2+x^2/4-1=0
を取り上げてみる。どういう結果になるかはよくわからない。
grad f=(x/2,y,2z)

問題を簡単にするためにこの・・・なんだ、楕円球？楕円体だったかとにかく潰れた球の表面だけでのgradを考えておく。ついでに意味不明にならないようにz>0という条件もつけておく。

そしてgradを眺めると、x=y=0ではなぜかz方向に傾斜があることになっている。
これでは全く意味が分からない。では接線らしきものが求まることだけでもみてみようではないか。
(1,1,1/2)を通る接線？の方向ベクトルは(1/2,1,1)らしい。
(x,y,z)=(1,1,1/2)+(1/2,1,1)tを書き入れればいいというわけだ。