電磁気学ノート(7)

短くまとめるつもりが、講義並みの長さになってしまった。ここではビオ・サバールの法則を導出したい。

7.1 ベクトルポテンシャル
電場の場合

E=-grad φ

とかけた。これは、

rot E=0

だったからであるが、磁場の場合は

div B = 0

である。ところで、div rot Cを計算してみると、2階以上偏微分は基本的には順番によらないので、

div rot C = 0

である。ということは、

div B = div (rot A) = 0

と考えることは可能であろう。すなわち、

B=rot A

この場Aをベクトルポテンシャルと呼ぶ。

7.2 電流の作るベクトルポテンシャル
静磁場の基礎方程式

からはじめる。Bを先のAで置き換えると

とかける。外積の性質から、左辺は

 c^2∇(∇･A)-(∇･∇)A=c^2∇(∇･A)-ΔA

ここでΔはラプラシアンである。

ちなみに、rot grad C = 0であるから、Aにはあるベクトル場φのgradを書きたしても同じ性質を満たす。
つまり、

A'=A+gradφ

このdivをとってみよう。

divA' = div A + div grad φ = div A + Δφ

ここで、先の計算を簡単にするために以下のような条件を付そう。

div A = 0

こうすると、基礎方程式から変形することで

を得る。これは各成分ごとに３つの式があることを意味している。
さて、この形式の方程式は静電場の際にもPoisson方程式として出ている。
電流密度jと電荷密度qが対応すると考えれば、電流密度jからベクトルポテンシャルAを求め、そのrotを取ることでBを得ることができる。

7.3 ビオ・サバールの法則
上記の議論を定式化する

まずx成分を見てみる

これを全成分について考えれば、

(Bの添字は見なかったことに・・。) これを、ビオ・サバールの法則という。

さて、あとは誘導を終わらせて最後の形に仕上げる。