2012/04/19

量子化学ノート(2)-part1

2 波動方程式とSchorodinger方程式

電子の軌道を説明するために用いるSchorodinger[1]方程式を扱うために波動方程式を導入する。

2.1 一次元の波動方程式

導出はここでは本質ではないので省略する。以下の式を一次元の波動方程式と呼ぶ
\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial t^2}
ここでvは波の速度である

2.2 二次元の波動方程式

2.1を拡張して二次元の場合は以下のように考えられる
\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2u(x,y,t)}{\partial t^2}
これを実際に解いてみよう
まずは境界条件としてx=0,y=0,x=a,y=b上ではu=0とする。

2.2.1 変数分離

u=f(x,y)g(t)とすると、
次のように変数分離できる
\frac{1}{f}\Bigl(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial x^2} \Bigr)=\frac{1}{gv^2}\frac{\partial^2g}{\partial t^2}=-\alpha^2
-a^2としたのは後々楽なため。負で問題ない（念のため）
これはf,gそれぞれについて解くことができる。fについては再度XYと変数分離を施してとくと、一般解は以下のようになる（はず）
u(x,y,t)=C\sin\bigl(\frac{n\pi}{a}x\bigr)\sin\bigl(\frac{m\pi}{b}\bigr)\sin\bigl(\pi\sqrt{(n/a)^2+(m/b)^2}vt+\theta_0\bigr)
この定数部分を簡略化して(Windows環境なので)3D-Grapesで描いたものをあげる。
で、あらかじめ断っておくがtの値がずれている。0.6,0.8はその値から-0.2,0.4は0.8のこと。





波が”育っている”のが分かると思う。3D-Grapesで自分でもやってみたい人は、
「曲面」の式を
(s,t,1sin(nPis/a)sin(mPit/b)sin(vPiSqrt((n/a)^2+(m/b)^2)))
として、範囲をs:-a~+a, t:-b~bに、m,nのパラメーターを自由に変える。vが時間パラメータ。

PART2へつづく

[1]シュレディンガー :Erwin Schrodinger (1887-1961)
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